在金融定价、自动控制等领域，数学家们常需要处理一类特殊的“双向随机方程”（FBSDEs）。传统方法每次只能求解单个方程，而一项创新研究通过改造神经网络结构，实现了同时求解整个方程家族的突破。
想象你需要在充满不确定性的环境中做连续决策，比如根据实时市场波动调整投资组合。这类问题往往用前向-后向随机微分方程（Forward-Backward Stochastic Differential Equations, FBSDEs）来描述，它们在金融衍生品定价、机器人路径规划等领域至关重要。传统数值解法就像手工计算器——每遇到一个新问题（比如改变终止条件或参数），就需要从头开始运算，这在处理大规模问题时效率极低。
研究者尝试用神经算子（NOs）这一特殊神经网络来构建“万能解题器”。与普通神经网络处理固定输入输出不同，NOs能直接学习从方程参数到解的映射关系。论文揭示了一个反直觉现象：通过精心设计的卷积结构，即便是“瘦小”的神经网络（层数对数增长、宽度恒定），也能高精度逼近整个FBSDEs家族的解析算子。这打破了人们对神经网络“越大越好”的刻板印象。
关键在于卷积层的设计暗合了数学家的证明智慧。在求解伴随的半线性椭圆偏微分方程（PDEs）时，数学家通常使用不动点迭代法。研究发现，NOs的卷积层恰好能模拟这一迭代过程——就像用乐高积木搭建出数学证明的步骤。这种结构上的对应，使得网络仅需适度增加深度（约log(1/误差)），就能实现误差的指数级下降。
更令人惊喜的是，该方法对高维问题表现出罕见的高效性。当问题维度增加时，所需网络参数仅以平方速率增长（且与维度无关），这显著优于传统数值方法常见的指数级复杂度。研究者通过理论分析证实，这种优势源于网络结构对Sobolev空间（一种描述函数光滑性的数学工具）的紧凑性利用，使得网络能像“智能压缩算法”般捕捉解算子的本质特征。
该成果为实时风险计算、自适应控制系统等场景提供了新工具。例如在金融科技领域，同一套网络可同时处理不同到期日、波动率的期权定价问题。理论层面，这项工作揭示了神经网络与泛函分析之间的深刻联系——网络结构不必盲目堆砌，而应借鉴数学证明中的构造思想。正如研究者指出：“好的网络架构不是发明出来的，而是被数学本身所揭示的。”